Clipião

RESUMO

As perguntas chaves de nosso projeto são: como fazer um pião com um clipe de papel? Como medir a sua velocidade de giro?
O trabalho está dividido em duas partes. A primeira, teórica, mostra o ângulo ideal para que aconteça a rotação. A segunda, prática, trata de diferentes métodos de medição experimental da velocidade angular do pião e do seu amortecimento.

INTRODUÇÃO

A idéia original do Clipião vem de um artigo do professor japonês Takao Sakai, Topics on tops which enable anyone to enjoy himself, a partir do qual baseamos o design do pião de nosso trabalho. Este artigo apresentava o ângulo ideal para a sua rotação perfeita, porém, o raciocínio utilizava-se de cálculo integral para atingir os resultados. Entre nossas propostas está a de calcular este ângulo utilizando-se apenas de trigonometria, desenvolvendo o raciocínio a partir de equilíbrio de torques e localização de centros de massa e comprovar sua funcionalidade ao construir um Clipião com as características determinadas teoricamente.

OBJETIVOS

Construir um pião com um clipe de papel podendo apenas dobrá-lo, calculando as condições ideais para que ele permaneça estável quando em rotação; determinar a sua velocidade angular inicial (), assim como construir um gráfico do seu amortecimento com o passar do tempo, aplicando o conteúdo da matéria de Física vista ao longo dos três anos do ensino médio de uma maneira divertida e interessante, valendo-se de um brinquedo feito com material acessível a todos e de fácil construção.

MATERIAL UTILIZADO

  • Videocassete, televisão, câmera VHS e câmera digital (que registra vídeo);
  • Osciloscópio e gravador de som;
  • Circuito composto por diodo foto-sensível, resistor, baterias e fios;
  • Lâmpada incandescente e fonte reguladora CC;
  • Microcomputador com os softwares Mathematica®, Microsoft Windows Movie Maker® e Spectogram®.

PROCEDIMENTO

Construção do clipião:

Ele pode ser feito de algumas maneiras, e escolhemos uma delas que explicamos aqui (figura 1, acima).
Sendo C o comprimento total do arame do clipe, L o comprimento da haste vertical, e R o seu raio, então:

onde é o ângulo de abertura que deve ter para equilibrar-se.
Assim R será:

Para um clipião ideal, o ângulo certo deve ser =53,13°. Este ângulo foi calculado através de trigonometria a partir de um raciocínio envolvendo equilíbrio de torques e localização de centros de massa (desenvolvimento em anexo), que resultou na seguinte equação, que foi resolvida com o auxílio do software Mathematica®:

e onde 2n é o número de faces em que a secção da circunferência foi simplificada.

figura 2: O clipião visto por baixo

Determinação da velocidade de giro:

1o. método - determinação da velocidade angular inicial através da câmera VHS

Utilizando uma câmera de vídeo que filma 30 quadros por segundo, gravamos o momento do lançamento do clipião. Reproduzindo a gravação e contamos o número de quadros para saber o tempo que o dedo leva para girar o pião.

A duração do lançamento será segundos, sendo N o número de quadros medido e 30 o número de quadros que a câmera registra a cada segundo (deve ser alterado para cada tipo de câmera).
A quantidade de voltas Q que dará o eixo do clipião em contato com o dedo será:

Sendo C a largura do dedo que lança o clipião, e R o raio do arame do clipe.
Assim, a freqüência de giro do pião será:

Substituindo, temos:

Os parâmetros e resultados deste método estão contidos na tabela 1:

tabela 1: parâmetros e resultados do primeiros método
C
R
N
f
1cm
0,45mm
4 quadros
26,5Hz

Este método só possibilita a medida da freqüência inicial de lançamento. Os segundo e terceiro métodos propõem uma medida da freqüência para vários instantes e portanto um gráfico pode ser feito (como será visto abaixo).

 

2o. método - determinação do gráfico de amortecimento através do osciloscópio


figura 3: Equipamentos do 2° método

Para termos uma maior precisão nas medições, utilizamos um fotodiodo em um circuito bem simples (esquema na figura 4) que permite observar uma mudança de voltagem quando um braço do clipião passa sobre o fotodiodo (vide figura 5).


figura 4: Circuito elétrico


figura 5: Interação do clipião com o circuito.
Acima do clipião girando está a lâmpada cuja luminosidade cai sobre o diodo abaixo clipião.

A estrutura do pião interagindo com o circuito é mostrada na figura 5. Colocamos o fotodiodo na sua parte inferior e a lâmpada na sua parte superior. Quando a luz emitida pela lâmpada passa pela região vazia do clipião temos uma voltagem na resistência R que é medida pelo osciloscópio. No momento em que o feixe de luz é interrompido por um dos aros do clipião, temos uma mudança na voltagem em R que é observado no osciloscópio. Como os dois aros se encontram próximos aparece na tela do osciloscópio duas quedas de voltagem por volta. Tomando-se o tempo entre as passagens de um mesmo aro sobre o fotodiodo saberemos o período da rotação do clipião. Observação: a lâmpada utilizada deve ser CC (corrente contínua) para que não haja interferência no gráfico mostrado no visor do osciloscópio.
Utilizando uma câmera digital, filmamos as imagens mostradas no osciloscópio durante a rotação do pião em aproximadamente 16 segundos. Passamos o filme para o computador e, utilizando o software Microsoft Windows Movie Maker®, analisamos quadro por quadro. Selecionamos os quadros melhores que continham dois pares de picos. A distância d da Figura 4 mede o tempo de uma volta (período). Sabendo o período, podemos encontrar facilmente a freqüência pela relação:


figura 6: Negativo da imagem do visor do osciloscópio

Através dos valores de d e do período T, podemos plotar o amortecimento da freqüência do pião com o tempo (gráfico 1, f vs t).


gráfico 1: Amortecimento da velocidade do clipião obtido pelo osciloscópio

 

3o. método - determinação do gráfico de amortecimento através do gravador de som
Este terceiro método é bastante semelhante ao segundo, pois utilizamos o mesmo circuito interagindo com o Clipião (esquema do circuito na figura 4 e a interação dele com o Clipião na figura 5, ambas acima), porém, a sua ligação foi realizada no conector de microfone de um gravador de som em vez do osciloscópio.
Como foi comentado acima, ao girar por sobre o fotodiodo, o clipião interrompe a luz que chega ao componente, fazendo com que a voltagem no resistor R sofra uma variação. No osciloscópio, tal variação pode ser visualizada como um pico (figura 6), mas no gravador de som um pulso audível é gerado. Este pulso sonoro terá a mesma freqüência que a tensão que o gerou, e, conseqüentemente, a mesma freqüência de giro do clipião.
Gravamos este som enquanto o clipião perdia velocidade em uma fita K-7, que teve seu conteúdo transferido para um arquivo do tipo Wave (.wav). Analisamos a gravação no microcomputador com o auxílio do software Spectrogram®, que possibilita a obtenção do espectro de uma onda sonora em um gráfico de freqüência versus tempo (f vs t). O espectro do som produzido pela rotação do clipião está mostrado na figura 7.


figura 7: Espectro do som do clipião em gráfico f vs t, onde é possível ver a freqüência verdadeira e seus harmônicos

O programa Spectrogram® nos permite obter com precisão a freqüência da onda em determinados instantes. A cada 0,5s obtivemos um valor e, a partir deles, foi plotado mais um gráfico (gráfico 2), abaixo:


gráfico 2: Amortecimento obtido pelo Gravador de Som

Discussão dos Resultados Obtidos

Nos dois primeiros métodos, houve uma certa imprecisão que não existiu no terceiro, pois em ambos foram utilizadas filmagens e, como os espaços de tempo entre um quadro e outro é considerável com relação às proporções com as quais estamos trabalhando, essas incertezas influenciaram em nossas medições. Porém, mesmo com essas flutuações experimentais, os valores de freqüência obtidos foram muito próximos, tanto entre os dois primeiros métodos quanto entre todos os três.
O terceiro método foi o que mais nos impressionou pela sua enorme precisão, mesmo sabendo-se que as flutuações dos dois primeiros não o afetam (anulando a possibilidade de erros gerados por leituras equivocadas), apesar de ter suas próprias variações, na forma de "chiados" e interferências. Tal precisão ocorreu porque no terceiro método utilizamos um pequeno motor DC para girar o pião enquanto no primeiro e segundo método giramos com a mão. Além disso, na análise das quadros no Microsoft Windows Movie Maker®, durante o segundo método, tivemos que utilizar uma régua para medir a distância "d" na tela, o que gerou mais uma fonte de imprecisão.
Em ambos os gráficos fizemos uma aproximação para a função exponencial por um motivo muito simples: a força de atrito amortecedora que age sobre o clipião em rotação é diretamente proporcional à sua velocidade angular, isto é, quanto mais rápido ele gira mais intenso é o amortecimento e, portanto, há uma perda maior em um espaço de tempo menor (ver gráficos 1 e 2). No gráfico do terceiro método (gráfico 2) os valores foram praticamente exatos com relação à aproximação para a função exponencial, demonstração de sua enorme precisão.

Custos

O Clipião tem, como foi dito, entre seus objetivos, a sua função acadêmica versátil com a vantagem de ter um custo baixo (para sua construção é necessário apenas um clipe de arame e um alicate, mais detalhes em Dicas para confecção do Clipião, abaixo). Mas o que deve ser discutido é o custo para os métodos de cálculo da velocidade de rotação do objeto que deu seu nome ao título do trabalho.
O primeiro método (determinação da velocidade inicial) pode ser realizado em casa, tendo apenas uma câmera VHS e um videocassete como equipamento utilizado. Já o segundo método é mais indicado para ser realizado em instituições de ensino pois, com exceção do microcomputador, os demais instrumentos (osciloscópio e câmera digital) são de difícil aquisição para quem quiser realizar a experiência em sua casa devido ao elevado custo. O terceiro método também pode ser realizado em casa, pois utilizamos um circuito simples e que utiliza componentes baratos, um gravador de som com entrada para microfone (onde ligamos o circuito) e um microcomputador (hoje comum na maioria das residências). Além da precisão, o baixo custo do terceiro método o torna mais atraente do que os demais.

Dicas para confecção do Clipião

Quando confeccionando o Clipião deve-se ter em mãos um alicate, que torna mais fácil a manipulação do arame. Recomendamos que se evite clipes cujo arame é maleável demais, pois sua facilidade para quebrar é muito grande fazendo, assim, com que gaste-se muito mais tempo (e clipes). Para facilitar a determinação das medidas de cada parte do Clipião, veja a seção Construção do Clipião, acima. E não se esqueça do mais importante: o ângulo de 53,13º.

CONCLUSÃO

Foi possível, ao construir um clipião que funciona, comprovar na prática o que foi determinado teoricamente, mostrando que os cálculos efetuados estavam corretos. Depois conseguimos meçar a velocidade angular do clipião utilizando métodos diferentes entre si e, ainda assim, manter a fidelidade entre os dados obtidos, que possuem a mesma ordem de grandeza.
Tudo isso apenas utilizando conceitos de matemática elementar (na determinação do ângulo ideal para rotação), mecânica (cálculo da velocidade angular inicial, primeiro método), eletricidade (gráfico do amortecimento com o osciloscópio, segundo método) e ondulatória (gráfico do amortecimento como gravador de som, terceiro método). Características do trabalho que resgatam seu objetivo principal: ensinar ciência com um brinquedo simples, algo divertido e barato que todos podem construir.

 

BIBLIOGRAFIA

SAKAI, TAKAO; Topics on tops which enable anyone to enjoy himself, Mathematical Sciences (Suri-kagaki), no. 271, p. 18-26, Janeiro de 1986

 
Clube de Ciências Quark